Le plaisir de comprendre
Angles et parallélisme
Deux droites, une sécante, huit angles : apprends à reconnaître les angles correspondants et alternes-internes, à calculer une mesure, à prouver que deux droites sont parallèles et à rédiger sans perdre de point.
5e
La leçon en vidéo
Regarde l’explication, puis retrouve chaque étape dans la leçon écrite.
Le décor : deux droites et une sécante
Une droite qui en coupe deux autres s’appelle une sécante. Ici, la sécante (uv) coupe la droite (xy) au point A et la droite (tz) au point B. Elle forme huit angles : quatre autour de A et quatre autour de B.
Pour s’y retrouver, on regarde deux choses. D’abord la zone : un angle est soit entre les deux droites, dans la bande colorée (zone intérieure), soit en dehors (zone extérieure). Ensuite le côté : un angle est d’un côté de la sécante, ou de l’autre.
Un angle se nomme avec trois lettres, et celle du sommet se place toujours au milieu. L’angle tBu a pour sommet le point B ; ses côtés vont vers t et vers u.
Les mots de cette leçon décrivent seulement la position des angles. On peut donc les employer même quand les deux droites ne sont pas parallèles.
- La bande colorée est la zone intérieure, entre les droites (xy) et (tz).
Les angles correspondants
Deux angles sont correspondants lorsqu’ils remplissent trois conditions : ils sont du même côté de la sécante ; l’un est dans la zone intérieure et l’autre dans la zone extérieure ; ils n’ont pas le même sommet.
Une astuce : deux angles correspondants occupent la même place autour de leur sommet. Si l’on faisait glisser le point A sur le point B le long de la sécante, ils se superposeraient.
Deux droites coupées par une sécante définissent quatre paires d’angles correspondants.
- Les quatre paires d’angles correspondants, une couleur par paire.
Les angles alternes-internes
Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils remplissent trois conditions : ils sont de part et d’autre de la sécante, c’est le sens du mot « alternes » ; ils sont tous les deux dans la zone intérieure, c’est le sens du mot « internes » ; ils n’ont pas le même sommet.
Une astuce : avec les deux droites et la sécante, deux angles alternes-internes dessinent la lettre Z, à l’endroit ou à l’envers.
Deux droites coupées par une sécante définissent deux paires d’angles alternes-internes.
Pour l’orthographe : au pluriel, chacun des deux mots prend un s, et aucun ne porte d’accent.
- Les deux paires d’angles alternes-internes, une couleur par paire.
Quand les droites sont parallèles : les propriétés
Propriété 1. Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante commune, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure.
Propriété 2. Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante commune, alors elles forment des angles correspondants de même mesure.
Ces deux propriétés servent à calculer la mesure d’un angle. Pour les utiliser, il faut déjà savoir que les droites sont parallèles : c’est écrit dans l’énoncé ou codé sur la figure.
- Droites parallèles : les angles alternes-internes (bleu) ont la même mesure, les angles correspondants (rouge) aussi.
Dans l’autre sens : les propriétés réciproques
Réciproque 1. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Réciproque 2. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Les réciproques servent à démontrer que deux droites sont parallèles. Cette fois, on part de deux angles dont on connaît les mesures.
Et si les deux angles n’ont pas la même mesure ? Alors les droites ne sont pas parallèles.
- Deux angles alternes-internes de même mesure : les droites sont parallèles.
Propriété ou réciproque ? Ne les confonds plus
| Ce que je cherche | Ce que je sais au départ | Ce que j’utilise | Ce que je conclus |
|---|---|---|---|
| La mesure d’un angle | Les droites sont parallèles. | Une propriété | Les deux angles ont la même mesure. |
| Si deux droites sont parallèles | Deux angles alternes-internes ou correspondants ont la même mesure. | Une réciproque | Ces droites sont parallèles. |
Les outils en plus
L’angle plat. Si trois points A, B et C sont alignés, alors l’angle ABC est un angle plat et il mesure 180°.
Deux angles côte à côte qui forment ensemble un angle plat ont des mesures dont la somme est 180°. Si l’un mesure 124°, l’autre mesure 180° − 124°, soit 56°.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre.
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est parallèle à l’une, alors elle est aussi parallèle à l’autre.
Savoir rédiger : On sait que… Or… Donc…
| Étape | Ce que j’écris | Le piège à éviter |
|---|---|---|
| On sait que… | Les données de l’énoncé et de la figure : les droites, la sécante commune, la nature des deux angles et la mesure connue. | Écrire la mesure que l’on cherche comme si on la connaissait déjà. |
| Or… | La propriété ou la réciproque du cours, récitée en entier, de « si » jusqu’à la fin. | Prendre la réciproque à la place de la propriété, ou raccourcir la phrase. |
| Donc… | La conclusion : la réponse à la question posée, avec la mesure et le signe °. | Recopier une donnée de l’énoncé au lieu de répondre à la question. |
La figure de l’exemple corrigé
Les droites (xy) et (tz) sont parallèles. La sécante (uv) les coupe en A et en B. L’angle yAv mesure 52°.
Avant d’écrire, on repère la position des deux angles : yAv et tBu sont entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante. Ce sont des angles alternes-internes.
- (xy) // (tz). L’angle yAv mesure 52° ; on cherche l’angle tBu.
Exemple corrigé
Sur la figure ci-dessus, les droites (xy) et (tz) sont parallèles et l’angle yAv mesure 52°. Quelle est la mesure de l’angle tBu ?
On sait que les droites (xy) et (tz) sont parallèles et sont coupées par une sécante commune (uv). Elles forment des angles alternes-internes : yAv, qui mesure 52°, et tBu. Or, si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante commune, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure. Donc l’angle tBu mesure lui aussi 52°.
Dans « On sait que », seul l’angle yAv a une mesure : celle de tBu est justement ce que l’on cherche. Après « Or », la propriété est écrite en entier. Après « Donc », on répond à la question, avec la mesure et son unité.
À ton tour : deux droites (d) et (d′) sont coupées par une sécante (s). Deux angles correspondants mesurent chacun 65°. Démontre que (d) et (d′) sont parallèles. Réponse : On sait que les droites (d) et (d′) sont coupées par une sécante commune (s) et forment deux angles correspondants de même mesure, 65°. Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Donc les droites (d) et (d′) sont parallèles.
La leçon est comprise ?
Place aux exercices !
Entraîne-toi sans compte
Exercices en accès libre, sans inscription.