Fractions : calculs, quantités et nombres décimaux

Ce que tu sais déjà

Une fraction peut dire trois choses. Elle peut montrer une partie d’un tout : 34 d’un gâteau. Elle peut mesurer : 74 d’unité. Elle peut aussi être un nombre placé sur une demi-droite graduée, entre deux entiers.

Au CM2, elle sert en plus à calculer une partie d’une quantité, comme les deux tiers de 12 euros.

Passer d’une écriture à l’autre

Pour sortir les unités entières d’une fraction, on divise le numérateur par le dénominateur. Dans 175, le nombre 17 divisé par 5 donne 3 et il reste 2.

On écrit : 175 = 3 + 25

Pour revenir à une seule fraction, on transforme les unités en parts. Dans 4 + 56, quatre unités valent 24 sixièmes, et avec 5 sixièmes de plus cela fait 29 sixièmes.

On écrit : 4 + 56 = 246 + 56 = 296

L’encadrement se lit tout de suite : 175 est entre 3 et 4.

Additionner et soustraire

Avec le même dénominateur, on ajoute ou on enlève les numérateurs.

Exemples : 712 + 812 = 1512 ; 2320 − 920 = 1420

Avec des dénominateurs différents, on cherche d’abord un dénominateur commun. Quand l’un est un multiple de l’autre, on garde le plus grand.

Exemples : 23 + 512 = 812 + 512 = 1312 ; 710 − 25 = 710 − 410 = 310

Pour ajouter un entier et une fraction, on transforme l’entier en parts : 2 + 38 = 168 + 38 = 198

Multiplier un entier par une fraction

Calculer 4 × 25, c’est ajouter 4 fois la fraction 25. On obtient deux cinquièmes, plus deux cinquièmes, plus deux cinquièmes, plus deux cinquièmes : cela fait huit cinquièmes.

On multiplie donc le numérateur par l’entier, et on garde le dénominateur : 4 × 25 = 85

Le dénominateur ne change pas : les parts restent des cinquièmes, il y en a seulement plus.

Autres exemples : 3 × 14 = 34 ; 5 × 310 = 1510 ; 6 × 13 = 63 = 2

Calculer une fraction d’une quantité

Pour prendre les deux tiers de 12 euros, on procède en deux étapes.

Première étape : on cherche un tiers. On partage 12 euros en 3 parts égales, et 12 divisé par 3 donne 4 euros.

Deuxième étape : on prend deux tiers, donc 2 fois 4 euros. Cela fait 8 euros.

À retenir : on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.

Les trois quarts de 100 mètres : 100 divisé par 4 donne 25, puis 3 fois 25 donne 75 mètres.

Les trois cinquièmes de 40 élèves : 40 divisé par 5 donne 8, puis 3 fois 8 donne 24 élèves.

Les millièmes

Si on partage une unité en 1 000 parts égales, chaque part est un millième. Un millième s’écrit 11000.

Un millième est dix fois plus petit qu’un centième, et cent fois plus petit qu’un dixième.

Un mètre contient 1 000 millimètres : un millimètre est un millième de mètre.

Écrire un nombre à virgule

Après la virgule, le premier chiffre est celui des dixièmes, le deuxième celui des centièmes et le troisième celui des millièmes.

Le nombre 2 + 310 + 51000 s’écrit 2,305. Il n’y a pas de centième : on écrit un 0 à la place des centièmes, sinon le 5 changerait de valeur.

Dans l’autre sens, 0,125 se lit « cent vingt-cinq millièmes » et s’écrit 1251000.

Pour comparer deux nombres à virgule, on compare d’abord les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. Ainsi 2,35 est plus grand que 2,305 : les dixièmes sont les mêmes, mais 5 centièmes, c’est plus que 0 centième.