Le plaisir de comprendre
Fractions plus grandes que 1 et fractions décimales
Sept quarts de pizza, est-ce possible ? Oui, avec deux pizzas ! Découvre les fractions plus grandes que 1, place-les sur une demi-droite graduée, calcule une fraction d’une quantité et passe des dixièmes et des centièmes aux nombres à virgule.
CM1
Une fraction peut dépasser 1
Jusqu’ici, tes fractions étaient plus petites que 1 : on prenait moins de parts que le tout n’en contient. Mais on peut prendre plus de parts, à condition d’avoir plusieurs touts.
Sept quarts de pizza, c’est 7 parts, alors qu’une pizza coupée en quarts n’en a que 4. Il faut donc deux pizzas : une pizza entière, puis 3 parts de la deuxième.
À retenir : si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 1. S’ils sont égaux, la fraction vaut 1. Si le numérateur est plus grand, la fraction est plus grande que 1.
Voir une fraction plus grande que 1
Le dénominateur dit toujours en combien de parts chaque unité est partagée. Le numérateur compte toutes les parts coloriées, sur tous les dessins.
- 74 : une unité entière et 34
- 53 : une unité entière et 23
Écrire une fraction comme un entier plus une fraction
Dans 74, je cherche combien de fois je peux faire une unité entière, c’est-à-dire 4 quarts. Dans 7, il y a 1 fois 4 et il reste 3.
On écrit : 74 = 44 + 34 = 1 + 34
Pour aller vite, on fait une division : 17 divisé par 5 donne 3 et il reste 2. Dans 175, il y a donc 3 unités entières et 2 cinquièmes.
On écrit : 175 = 3 + 25
Dans l’autre sens, on transforme les unités en parts. Dans 2 + 13, chaque unité vaut 3 tiers. Deux unités valent 6 tiers, et avec 1 tiers de plus cela fait 7 tiers.
On écrit : 2 + 13 = 63 + 13 = 73
Encadrer une fraction entre deux entiers
Encadrer, c’est trouver le nombre entier juste avant et le nombre entier juste après.
Comme 73 est égal à 2 + 13, cette fraction est plus grande que 2, mais elle n’atteint pas 3.
On écrit : 2 < 73 < 3
Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Sur une demi-droite graduée, on regarde d’abord en combien de parts chaque unité est partagée : c’est le dénominateur. Puis on compte les graduations depuis 0.
Pour placer 74, on compte 7 graduations depuis 0. On arrive 3 graduations après le 1.
- 74 est entre 1 et 2
- 83 est entre 2 et 3 : c’est 2 + 23
Comparer des fractions
| La situation | Un exemple | Comment faire |
|---|---|---|
| Avec le nombre 1 | 54 et 1 | Le numérateur est plus grand que le dénominateur : 54 est plus grand que 1. |
| Même dénominateur | 75 et 95 | Les parts ont la même taille : 75 est plus petit que 95. |
| Même numérateur | 73 et 75 | Les tiers sont plus grands que les cinquièmes : 73 est plus grand que 75. |
| Un dénominateur est un multiple de l’autre | 32 et 54 | On écrit 32 en quarts : 64. Comme 64 est plus grand que 54, 32 est plus grand que 54. |
Additionner et soustraire
Avec le même dénominateur, on ajoute ou on enlève les numérateurs. Le résultat peut dépasser 1.
Exemples : 34 + 24 = 54 ; 95 − 35 = 65
Avec des dénominateurs différents, on transforme d’abord une fraction en une fraction égale, pour avoir des parts de même taille.
Exemple : 32 + 14 = 64 + 14 = 74
Prendre une fraction d’une quantité
Prendre un tiers de 12 billes, c’est partager les 12 billes en 3 paquets égaux et garder un paquet. On fait une division.
Un tiers de 12 billes, c’est 12 divisé par 3, donc 4 billes.
Un quart de 100 mètres, c’est 100 divisé par 4, donc 25 mètres.
La moitié de 30 euros, c’est 30 divisé par 2, donc 15 euros.
Les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ou 100. On partage l’unité en 10 parts égales, les dixièmes, ou en 100 parts égales, les centièmes.
Dans le grand carré, chaque petite case est un centième. Une ligne entière de 10 cases est un dixième.
- 310 : trois dixièmes
- 37100 : c’est 3 dixièmes et 7 centièmes
- 1310 : c’est 1 + 310
Unités, dixièmes et centièmes
| Ce qu’il faut savoir | On écrit |
|---|---|
| Dans une unité, il y a 10 dixièmes. | 1 = 1010 |
| Dans une unité, il y a 100 centièmes. | 1 = 100100 |
| Dans un dixième, il y a 10 centièmes. | 110 = 10100 |
| Trois dixièmes, c’est trente centièmes. | 310 = 30100 |
| On peut décomposer une fraction décimale. | 37100 = 310 + 7100 |
| Quand elle dépasse 1, on sort les unités. | 2310 = 2 + 310 |
De la fraction décimale au nombre à virgule
Écrire 35 + 710 + 8100, c’est long. On a inventé une écriture plus courte : le nombre à virgule. Ce nombre s’écrit 35,78.
La virgule sépare les unités entières de ce qui est plus petit que 1. Le premier chiffre après la virgule est le chiffre des dixièmes. Le deuxième est le chiffre des centièmes.
Dans 35,78, la partie entière est 35. Le 7 vaut 7 dixièmes et le 8 vaut 8 centièmes.
Attention à 4100 : il y a 0 dixième et 4 centièmes. On écrit 0,04 et non 0,4.
Trois écritures du même nombre
| Fraction décimale | Décomposition | Écriture à virgule | On lit |
|---|---|---|---|
| 710 | 0 + 710 | 0,7 | sept dixièmes |
| 2310 | 2 + 310 | 2,3 | deux unités et trois dixièmes |
| 45100 | 410 + 5100 | 0,45 | quarante-cinq centièmes |
| 4100 | 010 + 4100 | 0,04 | quatre centièmes |
| 378100 | 3 + 710 + 8100 | 3,78 | trois unités et soixante-dix-huit centièmes |
Exemple corrigé
Écris 114 comme un entier plus une fraction, puis encadre 114 entre deux entiers qui se suivent.
114 = 2 + 34, et 2 < 114 < 3.
Je cherche combien de fois 4 quarts dans 11 quarts : 11 divisé par 4 donne 2 et il reste 3. Il y a donc 2 unités entières et 3 quarts. Comme il reste des quarts, la fraction dépasse 2, mais elle n’atteint pas 3.
À ton tour : écris 135 comme un entier plus une fraction, puis encadre-la. Réponse : 135, c’est 2 + 35, et cette fraction est entre 2 et 3.
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